Θ ά ν ο ς Τ ά σ ι ο ς
    Σημειώσεις και άρθρα για τα Μαθηματικά και την Εκπαίδευση

Σελιδες του ιστολογιου μου

Κατακορυφήν γωνίες: διαφορετικές διδακτικές προσεγγίσεις

Γιατί τα παιδιά φοβούνται τα μαθηματικά; Το έχουμε αναπτύξει και σε παλιότερο άρθρο βέβαια, αλλά το θέμα δεν το έχουμε επιλύσει. Ίσως, καμιά φορά, τα ίδια τα βιβλία κάνουν τα εύκολα δύσκολα για τους μαθητές μας. Δυστυχώς καμιά φορά "τα βιβλία των μαθηματικών είναι γραμμένα για μαθηματικούς" και όχι για όσους θέλουν να μάθουν. Ας παρακολουθήσουμε ως παράδειγμα τέσσερις διαφορετικές προσεγγίσεις στη διδασκαλία των κατακορυφήν γωνιών στα ελληνικά σχολικά βιβλία γεωμετρίας για να δούμε και την ιστορική εξέλιξη της φιλοσοφία της μαθηματικής εκπαίδευσης.

[Θεώρημα 1. Σελ. 19, Γεωμετρία Α' Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2011]. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
Απόδειξη

[α' τρόπος].
Η απόδειξη του βιβλίου δίνεται λεκτικά:




Χρήσιμο να μπορούν οι μαθητές να διατυπώνουν με λόγια έναν συλλογισμό, καθώς είναι πολύ σημαντικό να εκφραζόμαστε σωστά στα μαθηματικά (και γενικά). Η γεωμετρία κατά τη γνώμη μου συμβάλλει κατά πολύ στην ανάπτυξη εκφραστικών δεξιοτήτων και αναδεικνύει την σημασία της σωστής διατύπωσης των επιχειρημάτων κατά την απόδειξη μιας πρότασης. Σωστά λοιπόν το βιβλίο δίνει τον τρόπο αυτό.


Δεν είναι όμως αρκετά χειροπιαστό αυτό για τους μαθητές, οι οποίοι μάλιστα ουσιαστικά πρώτη φορά εισάγονται στην αυστηρή μέθοδο της γεωμετρικής απόδειξης. Πρέπει λοιπόν να επιμείνουμε λίγο ακόμα:


[β' τρόπος].
Απόδειξη "αλγεβρική".


Τα παιδιά στην Α΄ Λυκείου θα νιώσουν πιο οικεία με αυτή την απόδειξη, καθώς έχουν συνηθίσει τα μαθηματικά να διατυπώνονται με τον συνήθη συμβολικό τρόπο μέχρι τώρα.


[γ' τρόπος]. 
Ας δούμε την απόδειξη στα παλιότερα σχολικά βιβλία γεωμετρίας:


Από το βιβλίο: "Ευκλείδιος Γεωμετρία Επίπεδος", του Σπύρου Κανέλλου,
 εκδ. Παπαδημητροπούλου, Αθήνα 1970.


[δ' τρόπος]. 


Από το βιβλίο: "Πρακτική Γεωμετρία, διά τας κατωτέρας τάξεις των Γυμνασίων και διά τα αστικά σχολεία" - Χρίστου Α. Μπαρμπαστάθη, ΟΕΣΒ, Αθήνα, 1939.


Tα παραπάνω βιβλία των μαθηματικών μπορεί, όποιος ενδιαφέρεται, να τα βρει στο ιστολόγιο: http://ke-ntro.blogspot.com/search/label/Βιβλία μαζί επίσης με πολύ ενδιαφέρον υλικό για τα μαθηματικά και τη σκέψη γενικότερα.

Φιλοσοφία με ένα απλό παράδειγμα: "Οι πέτρες στο βάζο"


Ένας καθηγητής φιλοσοφίας εμφανίστηκε στην τάξη του με ένα μεγάλο χάρτινο κουτί. Χωρίς να μιλήσει, πήρε από την χάρτινη κούτα ένα άδειο γυάλινο βάζο και άρχισε να το γεμίζει με μικρές πέτρες. Οι μαθητές τον κοιτούσαν με απορία. Όταν το βάζο δεν χωρούσε άλλο ρώτησε:
-Είναι γεμάτο το βάζο;
Και οι μαθητές απάντησαν
-Ναι είναι γεμάτο. 
Αυτός χαμογέλασε και χωρίς να μιλήσει, πήρε από τη χάρτινη κούτα ένα σακουλάκι με μικρά βότσαλα και άρχισε να γεμίζει το βάζο, το κούνησε λίγο και τα βότσαλα κύλησαν και γέμισαν τα κενά μεταξύ των πετρών. Όταν το βάζο δεν χωρούσε άλλο, ρώτησε:
-Είναι γεμάτο το βάζο;
Και οι μαθητές απάντησαν:
-Ναι είναι γεμάτο
Αυτός χαμογέλασε πάλι και χωρίς να μιλήσει, πήρε από τη χάρτινη κούτα ένα σακουλάκι με άμμο και άρχισε να την αδειάζει μέσα στο βάζο. Η άμμος χύθηκε και γέμισε όλα τα κενά μεταξύ των πετρών και των βότσαλων. Όταν το βάζο δε χωρούσε άλλο, ρώτησε:
-Είναι γεμάτο το βάζο;
Οι μαθητές δίστασαν για λίγο, αλλά απάντησαν:
-Ναι είναι γεμάτο. 
Αυτός χαμογέλασε πάλι και χωρίς να μιλήσει πήρε από την χάρτινη κούτα δύο μπουκάλια μπύρες και άρχισε να τα αδειάζει μέσα στο βάζο. Τα υγρά γέμισαν όλο το υπόλοιπο κενό του βάζου. Όταν το βάζο δεν χωρούσε άλλο, ρώτησε:
-Είναι γεμάτο το βάζο;
Οι μαθητές αυτή τη φορά γέλασαν και είπαν:
-Ναι, είναι γεμάτο.
-Τώρα, λέει ο καθηγητής, θέλω να θεωρήσετε ότι το βάζο αυτό αντιπροσωπεύει τη ζωή σας. 
1. Οι πέτρες είναι τα πιο σημαντικά στη ζωή σας, οικογένεια, ο σύντροφός σας, τα παιδιά σας, η υγεία σας, οι καλοί σας φίλοι. Είναι τόσο σημαντικά που ακόμα κι αν όλα τα υπόλοιπα λείψουν, η ζωή σας θα εξακολουθήσει να είναι γεμάτη. 
2. Τά βότσαλα είναι τα άλλα πράγματα που έρχονται στη ζωή μας, όπως οι σπουδές, η δουλειά μας, το σπίτι μας, το αυτοκίνητό μας, τα στερεοφωνικά μας. Αν αυτά τα βάλετε πρώτα στο βάζο δεν θα υπάρχει χώρος για τις πέτρες, τα σημαντικά της ζωής.
3. Η άμμος είναι όλα τα υπόλοιπα τα πολύ μικρά της ζωής. Αν βάλεις πρώτα άμμο στο βάζο, δεν θα υπάρχει χώρος ούτε για τις πέτρες αλλά ούτε για τα βότσαλα. Το βάζο είναι η ζωή σας. Αν ξοδεύετε χρόνο και δύναμη για μικρά πράγματα, δεν θα βρείτε ποτέ χρόνο για τα πιο σημαντικά. Ξεχωρίστε πια είναι τα πιο σημαντικά για την ευτυχία σας. Μιλήστε με τους γονείς σας, παίξτε με τα παιδιά σας, απολαύστε τη σύντροφό σας, προσέξτε την υγεία σας, χαρείτε με τους φίλους σας. Πάντα θα υπάρχει χρόνος για γνώση και σπουδές, πάντα θα υπάρχει χρόνος για εργασία, πάντα θα υπάρχει χρόνος για να φτιάξετε το σπίτι σας, το αυτοκίνητό σας, τα στερεοφωνικά σας. Όμως να φροντίσετε για τις πέτρες πρώτα. Ξεχωρίστε τις προτεραιότητες. 
Οι μαθητές είχαν μείνει άφωνοι. Ένας όμως ρώτησε:
-Καλά, η μπύρα τι αντιπροσωπεύει;
Ο καθηγητής γελώντας του απαντά:
-Χαίρομαι που ρωτάς. Θα σας πω. Δεν έχει σημασία πόσο γεμάτη είναι η ζωή σας, δεν έχει σημασία πόσο στριμωγμένος είσαι, γιατί πρέπει να ξέρεις ότι πάντα θα υπάρχει λίγος χώρος για μια μπυρίτσα με ένα φίλο.

Πηγή: To υπέροχο αυτό κείμενο το διάβασα πρώτη φορά στην ψηφιακή σελίδα του Αλκαίου, ενός παλιού συμφοιτητή μου στο Πανεπιστήμιο, αλλά υπάρχει δημοσιευμένη και σε πολλές άλλες τοποθεσίες στο διαδίκτυο, π.χ.: http://www.empoweringlessons.com/prioritizing-your-life/ , http://food.unl.edu/web/fnh/big-rocks-firstκαι http://2time.wordpress.com/2007/08/28/the-basic-2time-elements-as-big-rocks/. Η γενική ιδέα αφορά στις προτεραιότητες που βάζουμε στη ζωή μας και στην ιεράρχιση και αξιοποίηση του διαθέσιμου για εμάς χρόνου.

Όποιος κατάλαβε, κατάλαβε ;-)


TH15 M355463 53RV35 T0 PR0V3 H0VV 0UR M1ND5 C4N D0 4M4Z1N6 TH1N65! 1MPR3551V3 TH1N65! 1N TH3 B361NN1N6 1T VV45 H4RD BUT N0VV, 0N TH15 L1N3 Y0UR M1ND 1S R34D1N6 1T 4UT0M4T1C4LLY VV1TH0UT 3V3N TH1NK1N6 4B0UT 1T. B3 PR0UD! 0NLY C3RT41N P30PL3 C4N R34D TH15. R3P05T 1F U UND3R5T4ND TH15 M355463, 8UT D0N'T T377 4NY0N3 VVH4T 1T M34N5

Θέλουμε βιβλία, όχι άλλα σιντι-ρομς!




Πριν 10 χρόνια δεν πίστευα ότι θα έφτανα στο σημείο να πω, επιτέλους, όχι άλλη τεχνολογία!
Το βλέπω και στον εαυτό μου: όση προσπάθεια και αν καταβάλλω να διατηρώ τα ψηφιακά μου αρχεία σωστά ταξινομημένα στους σκληρούς δίσκους, πώς είναι δυνατόν να φαίνονται το ίδιο όμορφα με τα βιβλία στο ράφι της βιβλιοθήκης μου;

Αν δεν υπάρχει βιβλιοθήκη στο σπίτι (κανονική εννοώ, με ράφια), φορτωμένη βιβλία, πώς θα έρθουν τα παιδιά από νωρίς σε επαφή με το βιβλίο για να το αγαπήσουν μετά; 
Πραγματικά το απολαμβάνω όταν εργάζομαι στο ίδιο δωμάτιο κάτω από τη βιβλιοθήκη με τα βιβλία μου, τα τετράδια και τα ντοσιέ με τις σημειώσεις μου από το πανεπιστήμιο και μετά. Γιατί ξέρω ότι από εκεί μπορώ να ανασύρω ανά πάσα στιγμή κάτι που η μνήμη μου δε βοηθά να θυμηθώ, ή ένα θέμα που θέλω να ξανασκεφτώ ή οτιδήποτε καινούργιο να μελετήσω. Γιατί ξέρω ότι τα περισσότερα από αυτά τα βιβλία τα έχω δουλέψει. Έχω εξεταστεί σε αυτά από τους καθηγητές μου.

Στα βιβλία αυτά πάντα έβρισκα πηγές συγκεκριμένες και αξιόπιστες για να κάνω τις εργασίες μου όταν χρειάστηκε. Εκεί μέσα είναι θεωρίες και οι ιδέες που κάποτε έχω ξενυχτήσει να κατακτήσω και γι' αυτό νιώθω οικεία κοντά τους.
Γιατί στα βιβλία μέσα αν ανοίξω θα δω ξεχασμένους σελιδοδείκτες, τσακισμένες γωνίτσες, μικρές σημειώσεις με μολύβι, και μικρά χαρτάκια με παρατηρήσεις, νευρικές υπογραμμίσεις με στυλό διαρκείας, μουτζούρες σε ασκήσεις που προσπάθησα κάποτε να λύσω και έμειναν στη μέση για ..."άλλη φορά", ή θαυμαστικά και ενδείξεις "Ο.Κ!" όπου κάτι καλό είχα βρει. 

Από κάτι παλιές παλιές εκπομπές στην κρατική βέβαια τηλεόραση μου έχουν μείνει εικόνες ακαδημαϊκών δασκάλων, με εκείνες τις μεγάλες βιβλιοθήκες με τους δερμάτινους τόμους εγκυκλοπαίδειας στο φόντο. Τώρα βέβαια πνευματικοί άνθρωποι δεν χρειάζονται στην τηλεόραση αφού τα αναλύουν όλα οι δημοσιογράφοι μόνοι τους, που τα ξέρουν όλα από το youTube το Τwitter, καθισμένοι σε ψυχρές μεταλλικές καρέκλες μπροστά από γυάλινα σκηνικά με οθόνες που παίζουν ό,τι να ναι στο βάθος και στυλό πολυτελείας. Αφού όλοι έχουν iPad τι το θέλουν το στυλό;; Για να τραβάνε γραμμές;; (Και αυτό είναι ένα θέμα που θα το συζητήσουμε μετά όμως!)

Λοιπόν τα βιβλία στη βιβλιοθήκη μου (την ξύλινη, την κανονική λέω) είναι σίγουρα λιγότερα από τα άλλα τα ψηφιακά. Όμως νιώθω ότι εκεί είναι η γνώση, γιατί είναι τα βιβλία μου αυτά. Δηλαδή οι ρίζες μου στην επιστήμη. Γιατί με αυτά πήρα το πτυχίο μου και αυτά έχω για άμεση αναφορά πάντα.

Το ίδιο ακριβώς που νιώθω για τους λίγους δίσκους της μητέρας μου και τις παλιές κασέτες που είχα αγοράσει από το δισκάδικο μικρός: δύο κασέτες το μήνα έπαιρνα τότε και τις καμάρωνα και τις απολάμβανα όσο πάει. Και με αυτές τις λίγες κασέτες που τελικά είχα μαζέψει θυμάμαι ένιωθα περίφημα μετά γιατί τους έβγαζα το λάδι να τις ακούω στο κασετόφωνο μου, και τους ξεπατίκωνα τα εξώφυλλα πάνω στα τετράδια μου, γιατί μου άρεσε και το χαρντ ροκ. Και στενοχωριόμουν που είχε μασίσει και κανά δυο το κασετόφωνο όταν ήταν χαλασμένο πριν πάρουμε καινούργιο. Και τα τραγούδια εκείνα τα θυμάμαι και σήμερα και τα ξέρω καλά γιατί μπορώ να δω και σήμερα το εξώφυλλο τους, να διαβάσω μέσα τους στίχους και τις άλλες πληροφορίες στο ένθετο βιβλιαράκι που έχουν οι δίσκοι. Και μου αρέσει πολύ και σήμερα να κοιτάω και τις εικόνες στα εξώφυλλα των δίσκων και των σιντί όταν είναι καλοδουλεμένα και γνήσια!

Όμως τα καινούρια σχολικά βιβλία της άλγεβρας στο σιντι-ρομ φοβάμαι ότι θα μπερδευτούν κάπου, μαζί με τα σιντί από τις ταινίες των εφημερίδων και τα δωρεάν τηλεοπτικά επεισόδια, τα συλλεκτικά (τρομάρα τους) που μοιράζουν τα περιοδικά. Και πολύ το φοβάμαι αυτό, ότι θα καταχωνιαστούν πίσω-πίσω στην ίδια θήκη με αυτά, αφού μπροστά-μπροστά θα είναι η καινούρια ταινία του Κάπταιν Αμέρικα και το Χάρρυ Πόττερ που κυκλοφόρησε τώρα.

Δηλαδή η ψηφιακή βιβλιοθήκη τώρα τι κύρος θα έχει; Το βιβλίο στην άλλη τη βιβλιοθήκη την ξύλινη είναι ψηλά-ψηλά: πάνω από το κεφάλι μας. Να το βλέπουμε και να το χαιρόμαστε. Να το ανοίγουμε να το κλείνουμε να το ξαναπιάνουμε, να ανοίγουμε δυο και τρία βιβλία ταυτόχρονα, να τα αφήνουμε εκεί για την επόμενη μέρα ανοιχτά, να τα αφήνουμε δίπλα στο κομοδίνο μας το βράδυ και στη βεράντα αν μας κάνει κέφι να πιούμε και ένα καφεδάκι. Το άλλο, το σιντι ρομ μπαίνει σε θήκη για παπούτσια συνήθως και κάτω από το κρεβάτι μετά.

Και πώς είναι δυνατόν να επέμβεις πάνω στην οθόνη και να σημειώσεις κάτι που σκέφτηκες; Πώς μπορείς να σχεδιάσεις στα γρήγορα, εκεί που το σκέφτηκες, ένα γεωμετρικό σχήμα που σου χρειάζεται να το έχεις ως επεξήγηση στη σελίδα του βιβλίου; Πώς θα σημειώσεις ποιες ασκήσεις έχεις ήδη κάνει, και ποιες έχεις για το επόμενο μάθημα και σε ποιες είχες απορίες;


Πώς θα κάνεις το ψηφιακό βιβλίο δικό σου όταν απλά το κοιτάς χωρίς να το χρησιμοποιείς πραγματικά;  Mπορείς να έχεις από αυτό όσα αντίτυπα θέλεις με μια απλή αντιγραφή-επικόλληση, όμως δεν το νιώθεις το ίδιο δικό σου με τα άλλα τα χάρτινα, από τα οποία έχεις επιλέξει λίγα και καλά.

Και πώς η συμμαθήτρια σου θα φτιάξει τις καρδούλες της πάνω στο βιβλίο για να τα θυμόσαστε αργότερα; Αντί για το ψηφιακό βιβλίο θα τις κάνει στο ψηφιακό Facebook. Άσε που μέχρι να βάλεις μέσα το σιντιρομ να ανοίξεις την άλγεβρα θα έχεις περάσει και 2-3 ώρες ρίχνοντας πασιέντζα στον υπολογιστή και πάει το απόγευμα χαμένο μετά!

Το θέμα είναι: Θέλουμε βιβλία, όχι άλλα σιντι-ρομ! Και τα παλιά έστω, αφού δεν έχετε άλλο χαρτί! Καλά ήταν και αυτά από το τίποτα! Και με αυτά μάθαμε!

Πριν 10 χρόνια δεν πίστευα ότι θα έφτανα στο σημείο να πω: "όχι άλλη τεχνολογία". Φανταστείτε, εγώ, που έχω σχεδόν εθιστεί στην τεχνολογία, λέω: Φτάνει!

Θάνος Τ.

Νέα βιβλία για την Α' Λυκείου

Οι νέοι μας μαθητές της Α΄Γυμνασίου: Σπάστε τον πάγο! Οπτικοποιήστε τα μαθηματικά για να τους υποδεχτείτε σωστά!


Και μετά από το τους όμορφους καλοκαιρινούς μήνες που έφυγαν κιόλας, ερχόμαστε ξανά πίσω στα δικά μας: πώς θα διώξουμε το άγχος των μαθηματικών της πρώτης Γυμνασίου στους νέους μας μαθητές για να τους υποδεχτούμε σωστά;

Προτεραιότητα είναι να γνωριστούμε με το παιδί. Να του επιτρέψουμε να μας γνωρίσει κι εκείνο. Να συζητήσουμε για τα ενδιαφέροντα μας. Για τη μουσική που προτιμά, τα βιβλία ή τις ταινίες που του αρέσουν ή της τηλεοπτικές σειρές και περιοδικά, τα παιχνίδια που επιλέγει να παίζει και να επιμείνουμε στα κοινά μας σημεία, ρωτώντας για λεπτομέρειες. Να το ενθαρρύνουμε να μας κάνει ερωτήσεις για τα νέα του σχολικά βιβλία, να περιγράψουμε τις νέες απαιτήσεις και στόχους που θα έχουν οι καθηγητές του Γυμνασίου. Να του εξηγήσουμε αν θέλει πώς θα είναι το σύστημα των εξετάσεων στο τέλος της χρονιάς και με τι κριτήρια θα βαθμολογείται.

Και όταν το κλίμα είναι κατάλληλο, έρχεται η ώρα να ανοίξουμε και τα περιεχόμενα του βιβλίου. Να δούμε τις ενότητες και τα επιμέρους κεφάλαια και να δούμε μαζί με το παιδί τι από αυτά έχει ξαναδεί στο δημοτικό και τι είναι καινούριο. Τι του φαίνεται εύκολο και ποιο μοιάζει να είναι δυσκολότερο.


Και αμέσως μετά, εκεί που ξεφυλλίζουμε το βιβλίο της Α΄Γυμνασίου, δεν μπορώ να φανταστώ καλύτερο τρόπο γνωριμίας με τον μαθητή, από την παρουσίαση του ιστορικού σημειώματος στη σελ.17 (βλ. σχήμα), που αφορά τον Γκάους (Karl Friedrich Gauss, 1777-1850), ο οποίος το 1789, άρχισε να μαθαίνει τους αριθμούς σε ένα χωριό της Γερμανίας.

[Να η πρώτη ερώτηση: Πόσο χρονόν ήταν ο Γκάους τότε και τι τάξη πήγαινε;]

Ο δάσκαλος έβαλε στους μαθητές να υπολογίσουν το άθροισμα 1+2+3+4+...+97+98+99+100 για να κάνει εκείνος μια δουλειά που είχε. 

[Δεύτερη ερώτηση: γιατί χρησιμοποιεί τα εισαγωγικά εδώ το βιβλίο; Είναι μαθηματικό σύμβολο! Τα χρειαζόμαστε;]

Βέβαια ο Γκάους απάντησε αμέσως (και σίγουρα θα έκανε τον δάσκαλό του έξω φρενών) αλλά επειδή ο δικός μας μαθητής δεν πρόκειται να καταλάβει τις παρενθέσεις και τη λύση όπως την παρουσιάζει το σχολικό βιβλίο, και πριν τρομοκρατηθεί, καλό είναι να ακούσουμε τη χρήσιμη συμβολή του George Polya (μίκρυνε λίγο τους αριθμούς και μείωσε τη δυσκολία του προβλήματος) ώστε να ξεκινήσουμε υπολογίζοντας το άθροισμα 1+2+3+...+8+9+10 και να εξηγήσουμε πώς "λυγίζουμε" αυτή τη γραμμή των αριθμών στη μέση, βάζοντας τον μικρότερο κάθε φορά με τον μεγαλύτερο. (Παρατήρηση: η "μέση" εδώ είναι δύο νούμερα μαζί, γιατί έχουμε άρτιο πλήθος αριθμών να προσθέσουμε).

Μπορούμε έτσι να οπτικοποιήσουμε τα μαθηματικά με το παράδειγμα αυτό. Εγώ προσωπικά χρησιμοποιώ και μια μεζούρα που έχω πάντα στην τσάντα μου (τη βρίσκει κανείς μπερδεμένη κάπου μέσα στα σύνεργα ραπτικής) γιατί μου φαίνεται κάποιες φορές χρήσιμη στη γεωμετρία αλλά και στην τριγωνομετρία στο Λύκειο. Διπλώνω τη μεζούρα στη μέση και έτσι φαίνεται ξεκάθαρα η ιδέα της λύσης...

Αφού καταλάβει ο μαθητής τι "παίζει" για τα πρώτα δέκα νούμερα, τότε τον αφήνουμε να δουλέψει το άθροισμα για τα πρώτα 100 νούμερα και μετά, αν έχει κέφι, ας κάνει και τα πρώτα 1000.

Στο τέλος ασφαλώς θα αναφέρουμε πόσο σημαντική ήταν η ιδέα αυτή και πώς με μια έξυπνη ιδέα μπορούμε να γλιτώσουμε χρόνο και κόπο. Ο μαθητής θα το έχει ήδη καταλάβει και σίγουρα θα του μείνει για να το συζητήσει και με τους φίλους του όταν τους δει. Έχουμε πλέον γνωριστεί καλύτερα μαζί του.

Καλή χρονιά να έχουμε!