Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Ιστορία των Μαθηματικών. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Ιστορία των Μαθηματικών. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Οι νέοι μας μαθητές της Α΄Γυμνασίου: Σπάστε τον πάγο! Οπτικοποιήστε τα μαθηματικά για να τους υποδεχτείτε σωστά!
Προτεραιότητα είναι να γνωριστούμε με το παιδί. Να του επιτρέψουμε να μας γνωρίσει κι εκείνο. Να συζητήσουμε για τα ενδιαφέροντα μας. Για τη μουσική που προτιμά, τα βιβλία ή τις ταινίες που του αρέσουν ή της τηλεοπτικές σειρές και περιοδικά, τα παιχνίδια που επιλέγει να παίζει και να επιμείνουμε στα κοινά μας σημεία, ρωτώντας για λεπτομέρειες. Να το ενθαρρύνουμε να μας κάνει ερωτήσεις για τα νέα του σχολικά βιβλία, να περιγράψουμε τις νέες απαιτήσεις και στόχους που θα έχουν οι καθηγητές του Γυμνασίου. Να του εξηγήσουμε αν θέλει πώς θα είναι το σύστημα των εξετάσεων στο τέλος της χρονιάς και με τι κριτήρια θα βαθμολογείται.
Και όταν το κλίμα είναι κατάλληλο, έρχεται η ώρα να ανοίξουμε και τα περιεχόμενα του βιβλίου. Να δούμε τις ενότητες και τα επιμέρους κεφάλαια και να δούμε μαζί με το παιδί τι από αυτά έχει ξαναδεί στο δημοτικό και τι είναι καινούριο. Τι του φαίνεται εύκολο και ποιο μοιάζει να είναι δυσκολότερο.
Και αμέσως μετά, εκεί που ξεφυλλίζουμε το βιβλίο της Α΄Γυμνασίου, δεν μπορώ να φανταστώ καλύτερο τρόπο γνωριμίας με τον μαθητή, από την παρουσίαση του ιστορικού σημειώματος στη σελ.17 (βλ. σχήμα), που αφορά τον Γκάους (Karl Friedrich Gauss, 1777-1850), ο οποίος το 1789, άρχισε να μαθαίνει τους αριθμούς σε ένα χωριό της Γερμανίας.
[Να η πρώτη ερώτηση: Πόσο χρονόν ήταν ο Γκάους τότε και τι τάξη πήγαινε;]
Ο δάσκαλος έβαλε στους μαθητές να υπολογίσουν το άθροισμα 1+2+3+4+...+97+98+99+100 για να κάνει εκείνος μια δουλειά που είχε.
[Δεύτερη ερώτηση: γιατί χρησιμοποιεί τα εισαγωγικά εδώ το βιβλίο; Είναι μαθηματικό σύμβολο! Τα χρειαζόμαστε;]
Βέβαια ο Γκάους απάντησε αμέσως (και σίγουρα θα έκανε τον δάσκαλό του έξω φρενών) αλλά επειδή ο δικός μας μαθητής δεν πρόκειται να καταλάβει τις παρενθέσεις και τη λύση όπως την παρουσιάζει το σχολικό βιβλίο, και πριν τρομοκρατηθεί, καλό είναι να ακούσουμε τη χρήσιμη συμβολή του George Polya (μίκρυνε λίγο τους αριθμούς και μείωσε τη δυσκολία του προβλήματος) ώστε να ξεκινήσουμε υπολογίζοντας το άθροισμα 1+2+3+...+8+9+10 και να εξηγήσουμε πώς "λυγίζουμε" αυτή τη γραμμή των αριθμών στη μέση, βάζοντας τον μικρότερο κάθε φορά με τον μεγαλύτερο. (Παρατήρηση: η "μέση" εδώ είναι δύο νούμερα μαζί, γιατί έχουμε άρτιο πλήθος αριθμών να προσθέσουμε).
Μπορούμε έτσι να οπτικοποιήσουμε τα μαθηματικά με το παράδειγμα αυτό. Εγώ προσωπικά χρησιμοποιώ και μια μεζούρα που έχω πάντα στην τσάντα μου (τη βρίσκει κανείς μπερδεμένη κάπου μέσα στα σύνεργα ραπτικής) γιατί μου φαίνεται κάποιες φορές χρήσιμη στη γεωμετρία αλλά και στην τριγωνομετρία στο Λύκειο. Διπλώνω τη μεζούρα στη μέση και έτσι φαίνεται ξεκάθαρα η ιδέα της λύσης...
Αφού καταλάβει ο μαθητής τι "παίζει" για τα πρώτα δέκα νούμερα, τότε τον αφήνουμε να δουλέψει το άθροισμα για τα πρώτα 100 νούμερα και μετά, αν έχει κέφι, ας κάνει και τα πρώτα 1000.
Στο τέλος ασφαλώς θα αναφέρουμε πόσο σημαντική ήταν η ιδέα αυτή και πώς με μια έξυπνη ιδέα μπορούμε να γλιτώσουμε χρόνο και κόπο. Ο μαθητής θα το έχει ήδη καταλάβει και σίγουρα θα του μείνει για να το συζητήσει και με τους φίλους του όταν τους δει. Έχουμε πλέον γνωριστεί καλύτερα μαζί του.
Καλή χρονιά να έχουμε!
Η έννοια της συνάρτησης στο Wikipedia
Το wikipedia εξελίσσεται διαρκώς και φιλοδοξεί να αποτελέσει το μεγάλο βιβλίο γνώσης για όλα τα θέματα. Απλουστεύοντας υπερβολικά και μονοπωλώντας τη γνώση όμως δεν μπορούμε να έχουμε επιστήμη on-line με αντιγραφή επικόλληση των σκέψεων ενός και μόνο εμπειρογνώμονα - οποιουδήποτε - ακόμη και ο ίδιος ο Αρχιμήδης να ήταν συντάκτης! Μην βιάζεστε να πετάξετε τα βιβλία σας λοιπόν. Θα αποκτήσουν συλλεκτική αξία: ακόμα και αυτά του ΟΕΔΒ.
Παράδειγμα: Η έννοια της συνάρτησης στα Μαθηματικά στο Wikipedia
Παράδειγμα: Η έννοια της συνάρτησης στα Μαθηματικά στο Wikipedia
Ιστορία των Μαθηματικών
Η σημασία της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία των Μαθηματικών
Οι παιδαγωγοί υποστηρίζουν ότι ο δάσκαλος πρέπει να έχει μια βαθύτερη αντίληψη των Μαθηματικών και της σημασίας τους (μια στέρεα γνωσιολογική και συναισθηματική βάση για το αντικείμενο που μελετά.
O Poincare για την σημασία της ιστορίας των μαθηματικών στην εκπαιδευτική διαδικασία είχε αναφέρει: "Μήπως η κατανόηση ενός θεωρήματος σημαίνει τη διαδοχική εξέταση των συλλογισμών που το συνθέτουν για να επιβεβαιωθεί η εγκυρότητά του και η συνέπειά του με τους κανόνες του παιγνιδιού; Για μερικούς ναι, αυτό είναι αρκετό για να πούνε 'τώρα το καταλαβαίνω'. Για πολλούς όμως, όχι. Χρειάζεται κάτι πολύ περισσότερο από αυτό. Θα ήθελαν να ξέρουν όχι μόνον αν οι συλλογισμοί της απόδειξης είναι ορθοί, αλλά και γιατί σχετίζονται μεταξύ τους με αυτό τον τρόπο και όχι με κάποιο άλλο. Αν οι συλλογισμοί τους φαίνονται ότι προέκυψαν στην τύχη, χωρίς σύστημα και ενσυνείδητο στόχο, τότε δεν ικανοποιούνται. Ίσως ούτε και οι ίδιοι να μην ξέρουν τι ακριβώς αναζητούν, αλλά αν δεν το βρουν θα έχουν το συναίσθημα ότι κάτι τους λείπει".
Η προσπάθεια για επισήμανση σχέσεων και διασυνδέσεων ανάμεσα στα επιμέρους και η κατανόηση της δυναμικής πορείας της επιστημονικής σκέψης σε οποιοδήποτε αντικείμενο αλλά ιδιαίτερα στα μαθηματικά διευκολύνεται από της μελέτη της ιστορίας.
Ο Henry Poncare (1899) γράφει συγκεκριμένα, "Αναμφίβολα, είναι δύσκολο για το δάσκαλο να διδάξει μια αιτιολόγηση που δεν τον ικανοποιεί πλήρως…Αλλά, ο κύριος σκοπός της διδασκαλίας δεν είναι η ικανοποίηση του δασκάλου…πάνω από όλα μας ενδιαφέρει το μυαλό του παιδιού και αυτό που θέλουμε να γίνει…. Το έργο του δασκάλου είναι να κάνει τα παιδιά να ακολουθήσουν την ατραπό που ακολούθησαν οι πατέρες τους, περνώντας γρήγορα από ορισμένα στάδια χωρίς να παραλείψουν κανένα. Με αυτή την έννοια η ιστορία είναι ο οδηγός μας".
O Felix Klein όχι μόνον υποστήριζε τη χρησιμοποίηση της ιστορίας, αλλά και εφάρμοσε τις ιδέες του στη διδασκαλία. Η αφετηρία του πιθανόν να ήταν μια επιθυμία περιορισμού της υπερβολικής αυστηρότητας και του φορμαλισμού στη διδασκαλία. Με αυτή την έννοια ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τη διάκριση διαίσθησης αυστηρότητας, και στο σχολείο προέτρεπε την αξιοποίηση της διαίσθησης. Έγραφε συγκεκριμένα"Υποστηρίζω πως η μαθηματική διαίσθηση … βρίσκεται πάντοτε πολύ μπροστά από τη λογική αιτιολόγησης και καλύπτει μια ευρύτερη περιοχή. Θα μπορούσα να κάνω μια ιστορική αναδρομή δείχνοντας ότι κατά τη ανάπτυξη πλείστων κλάδων των μαθηματικών η αφετηρία ήταν διαίσθηση ενώ η λογική επεξεργασία ακολούθησε".
Η σχέση ιστορίας μάθησης αποδίδεται στις εγγενείς ιδιότητες της γνώσης και περισσότερο των μηχανισμών που διαμεσολαβούν κατά τη μετάβαση από το ένα επίπεδο γνώσης στο άλλο. Αφού τα στάδια είναι δεδομένα για κάθε έννοια, θα προσομοιάζουν και τα επιστημολογικά εμπόδια που θα συναντήσει ο σύγχρονος μαθητής. Ώστε, ο μαθητής μπορεί να παρακολουθήσει το δρόμο των πρωτοπόρων, αντί να το χαράξει από την αρχή, αφού οι μηχανισμοί που μεσολαβούν κατά τη μετάβαση από το ένα στάδιο στο άλλο είναι οι ίδιοι.
Ο Cajory προτάσσει στο κλασικό του έργο Ιστορία των μαθηματικών (1893) την ακόλουθη περικοπή:
"I am sure that no subject loses more than mathematics by any attempt to dissociate it from its history".
Η ιστορική προσέγγιση βασίζεται στη λογική ότι η παρούσα κατάσταση πραγμάτων για οποιοδήποτε θέμα δεν είναι έννοια μεμονωμένη και αυθύπαρκτη, αλλά αντλεί σημασία από το παρελθόν και καταξιώνεται από τη δυναμική επηρεασμού του μέλλοντος. Η γνώση, ο πολιτισμός και οι παραδόσεις ενός λαού είναι οι ρίζες που τον υποστηρίζουν στη γη και τρέφουν το υπερκείμενο μέρος του.
Όταν όμως μιλούμε για ιστορία τι ακριβώς εννοούμε; Είναι γνωστό ότι η ιστορία γράφεται και ξαναγράφεται, ανάλογα με τις εκάστοτε κοινωνικές αντιλήψεις ή ακόμη και τις προκαταλήψεις. Τα ίδια γεγονότα αποδίδονται διαφορετικά και ερμηνεύονται ανάλογα με την οπτική θεώρηση του συγγραφέα, ώστε να είναι δύσκολο να συμφωνηθεί η πραγματική ιστορία. Ο κάθε μελετητής αξιολογεί και ερμηνεύει τα δεδομένα μέσα από το δικό του φιλοσοφικό φακό. Υπάρχει ακόμη το ερώτημα αναφορικά με το δίλημμα: ιστορία των πηγών ή ιστορία των ιδεών; Από την επιστημολογική και διδακτική άποψη μας ενδιαφέρει η ιστορική ανάπτυξη των ιδεών, η οποία, ωστόσο, βασίζεται στις πηγές.
Αν η "ιστορία" ενός αντικειμένου εξετάζει, αναλύει και ερμηνεύει συγκεκριμένες πτυχές της γνώσης που αναπτύχθηκε στο παρελθόν, τότε ο ιστορικός ασχολείται με ερωτήματα της μορφής: τι, πότε, πώς, από ποιον και γιατί έγινε κάτι; Οι απαντήσεις που θα δοθούν στα ερωτήματα θα βασίζονται στη μελέτη και ανάλυση των διαθέσιμων πηγών.
Η επιλογή της σκοπιάς από την οποία θα θεωρηθεί η ιστορία ενός θέματος είναι συνάρτηση υποκειμενικών φιλοσοφικών και κοινωνικών αντιλήψεων. Η μετά-μοντέρνα αντίληψη της ιστορίας δίνει αυξημένη έμφαση σε δύο μεταβλητές: Πρώτον, στις κοινωνικές και οικονομικές συνθήκες και γενικά το περιβάλλον μέσα στο οποίο αναπτύχθηκε η γνώση, και δεύτερον, στη σημασία που έχει η συγκεκριμένη γνώση στην αλληλουχία των γεγονότων. Μελετά τα γεγονότα του παρελθόντος ως μέρος ενός συνεχούς ή ως βήματα που προετοίμασαν τις νεότερες πιο τελειοποιημένες δομές της γνώσης. Δίνει σημασία στη σχέση της ιστορικής στιγμής ως μέρους της εξέλιξης της γνώσης. Τα γεγονότα είναι ένα δυναμικό σύνολο διαδικασιών που συνδέουν το παρελθόν με το παρόν και προϊδεάζουν για το μέλλον. Ο ιστορικός ανασυνθέτει τους παράγοντες που συνέβαλαν στη δημιουργία των συγκεκριμένων δομών γνώσης, τα κίνητρα που ώθησαν στις συγκεκριμένες λύσεις, σε συνδυασμό με τη σημασία τους στις μετέπειτα εξελίξεις, μέσα στις σύγχρονες κοινωνικές και πολιτισμικές συνθήκες.
Η ιστορική προσέγγιση θα μπορούσε να ενισχύσει τη γνωσιολογική βάση των φοιτητών και να βελτιώσει ταυτόχρονα τις στάσεις τους ως προς τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους. Πρόσθετο κίνητρο για τη συμπερίληψη της ιστορίας στο πρόγραμμα σπουδών είναι το γεγονός ότι οι πιο πολλές ενότητες των μαθηματικών του σχολείου αναπτύχθηκαν από τους Έλληνες. Η μελέτη μερικών από τις λαμπρές σελίδες των ελληνικών μαθηματικών θα αποτελούσε ένα επιπλέον κίνητρο για τον έλληνα σπουδαστή.
Παράδειγμα 1: Μια απομονωμένη αναφορά στα συστήματα αρίθμησης των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων προσφέρει ελάχιστα στη μάθηση, αν δεν συνδυαστεί με το δεκαδικό σύστημα και τις ιδιότητές του. Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης δεν είναι δυνατό να διδαχθεί χωρίς να γίνει, στοιχειώδης έστω, αναφορά σε κάποιας μορφής λογικές πύλες ή λογικά κυκλώματα, που είναι η βάση της λειτουργίας του σύγχρονου υπολογιστή. Η προτομή του Πυθαγόρα στην εισαγωγή του κεφαλαίου που διδάσκεται το ομώνυμο θεώρημα, δεν αποτελεί συμβολή της ιστορίας των μαθηματικών στη μελέτη του μεγάλου αυτού θεωρήματος. Αντίθετα, ο μαθητής θα μπορούσε να μελετήσει την εξέλιξη του θεωρήματος αρχίζοντας από την πρακτική του εφαρμογή από τους Αιγυπτίους (σχηματισμός ορθής γωνίας με σχοινί 12 μονάδων, χωρισμένο με κόμπους σε μήκη 3, 4 και 5 μονάδων), να περάσει μετά σε κατασκευαστικές αποδείξεις των Ελλήνων, να μελετήσει αποδείξεις που προτάθηκαν από μαθηματικούς σε άλλες ιστορικές στιγμές και κοινωνικές συνθήκες και, τέλος, να καταλήξει σε γενικεύσεις και επεκτάσεις του.
Παράδειγμα 2: Ο απειροστικός λογισμός εισάγεται με παραπομπή στη σημασία της σχέσης άπειρο και απειροστό, συζητούνται και αναλύονται τα παράδοξα του Ζήνωνα και άρση τους με βάση την αρχή της εξάντλησης του Εύδοξου. Αφού τονιστεί η σημασία της έννοιας του ορίου, γίνεται ιστορική αναφορά στις προσπάθειες των Fermat, Barrow, Wallis, και καταλήγουμε στους Leibniz και Newton. Οι έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος εισάγονται πρώτα άτυπα με παραδείγματα και στη συνέχεια και τυπικά και συζητούνται πρακτικές εφαρμογές.
Παράδειγμα 3: Αφορμές για μελέτη από το διαδίκτυο:
Πάπυρος της Οξυρρύγχου με το πιο παλιό διάγραμμα από τα Στοιχεία (Βιβλίο ΙΙ)
του Ευκλείδη. (Αριθμός Παπύρου Ι.29, University of Pennsylvania Museum of Archaelogy and Anthropology - Museum cataloque E2748).
Μετάφραση: «Εάν ευθεία γραμμή τμηθή εις ίσα και άνισα, το υπό των ανίσων της όλης τμημάτων περιεχόμενον ορθογώνιον μετά του από της μεταξύ των τομών τετραγώνου ίσον εστί τω από της ημισείας τεραγώνου».