Benoît Mandelbrot: Έφυγε σήμερα ο μεγάλος δάσκαλος της γεωμετρίας των Fractals

Ο Benoit Mandelbrot (1924 - 2010) θεωρείται ότι είναι σε μεγάλο βαθμό υπεύθυνος για το ενδιαφέρον που υπάρχει στην εποχή μας για τη "Γεωμετρία των Fractals" και τη "Θεωρία του Χάους". Κατάφερε να επιδείξει το πώς τα fractals (κλασματοειδή) εμφανίζονται σε διάφορα πεδία, εκτός των μαθηματικών, σχεδόν σε κάθε έκφραση της φύσης. 


Εκτός από συνεργάτης της ΙΒΜ στο Ερευνητικό Κέντρο Watson, ο Mandelbrot ήταν καθηγητής της Πρακτικής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Harvard. Επίσης, κρατούσε διδακτικές ώρες ως Καθηγητής Μηχανικής στο Yale, ως Καθηγητής Μαθηματικών στην Ecole Polytechnique, ως Καθηγητής Οικονομικών στο Harvard και ως καθηγητής Φυσιολογίας στο Κολέγιο Ιατρικής Einstein. Οι εξερευνήσεις του Mandelbrot σε τόσους διαφορετικούς κλάδους της Επιστήμης ήταν, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, όχι ένα ατύχημα αλλά μία εσκεμμένη απόφαση από μέρους του. Όπως το γεγονός ότι τα Φράκταλς είναι τόσο διαδομένα τελικά στη φύση που οδήγησε στην κατεύθυνση και σε άλλα πεδία.


... στο κλείσιμο του αιώνα όπου η κίνηση της ανθρώπινης εξέλιξης διανοητικά, πολιτικά και ηθικά φαίνεται ίσως να είναι, στην καλύτερη των περιπτώσεων, αμφιλεγόμενη και διφορούμενη, υπάρχει μία περιοχή της ανθρώπινης δραστηριότητας όπου η ιδέα και η επίτευξη της εξέλιξης είναι αναμφίβολη και διαυγέστατατα ξεκάθαρη. Αυτή είναι τα Μαθηματικά. Το 1900, σε μία διάσημη διάλεξη στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι, ο David Hilbert κατέγραψε 25 άλυτα προβλήματα ξεχωριστής σημασίας. Πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν οριστικά επιλυθεί ή αποδείχθηκε ότι είναι άλυτα, και το επιστέγασμα είναι αυτό που όλοι γνωρίζουμε στα πρόσφατα χρόνια του μέσου της δεκαετίας του 1990, η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Το πρώτο από τα προβλήματα του Hilbert αφορούσε ένα πλήθος από ζητήματα σχετικά με τη φύση του Συνεχούς ή του πραγματικού ορίου, μία μέγιστη ενασχόληση της ανάλυσης του 19ου και 20ου αιώνα. Το πρόβλημα ήταν ταυτόχρονα γεωμετρικό, αφορώντας την φύση της γραμμικής σκέψης που δομείται από σημεία και της αριθμητικής σκέψης ως τη θεωρία των πραγματικών αριθμών. Η σύζευξη αυτών των δύο πεδίων ήταν ένα από τα μεγάλα επιτεύγματα του Richard Dedekind και του George Cantor.

Στη βάση αυτής της επίτευξης βρίσκονται κάποια πολύ εκπληκτικά γεωμετρικά αντικείμενα. Για όλους εκείνη την εποχή φάνταζαν παράξενα, στην πραγματικότητα αληθινά νοσηρά τέρατα. Τόσο αλλόκοτα ήταν που αναμεταξύ τους υπήρχαν μονοδιάστατες γραμμές που γέμιζαν δυσδιάστατους χώρους, καμπύλες που είχαν καλή «συμπεριφορά», εάν εξαιρέσουμε βέβαια το ότι δεν είχαν κλίση σε κανένα σημείο! Και είχαν επίσης και περίεργα ονόματα, όπως η καμπύλη του Peano που γέμιζε το χώρο, η λωρίδα του Sierpinski, η νιφάδα του Koch, η σκόνη του Cantor. Παρά τις «παθολογικές» τους ιδιότητες, την εξαιρετική τους περιπλοκότητα, ειδικά όταν έβλεπες αυτά τα αντικείμενα σε όλο και μεγαλύτερη λεπτομέρεια, ήταν πολύ συχνά πολύ απλό το να τα περιγράψεις, καθώς οι κανόνες που τα παρήγαγαν ήταν εξωφρενικά απλοί για να τους διατυπώσεις. Τόσο παράξενα ήταν αυτά, που οι μαθηματικοί άρχισαν να μην ασχολούνται μαζί τους και να τα παραμερίζουν ως πολύ αλλόκοτα για να ασχοληθούν με αυτά. Τουλάχιστον μέχρι ο τιμώμενος να φτιάξει από αυτά μία ολοσχερώς καινούργια επιστήμη, τη θεωρία της φρακταλικής γεωμετρίας. Ήταν η ενόρασή του και το όραμά του που έβλεπε μέσα σε αυτά τα αντικείμενα και τα πολλά άλλα που ανακάλυψε, που κάποια φέρουν τώρα το όνομά του, όχι ως μαθηματικές παραδοξότητες αλλά σαν σημάδι για ένα καινούργιο μαθηματικό Σύμπαν, μία νέα Γεωμετρία με τόση συστηματική προσέγγιση και γενικότητα, όπως αυτό του Ευκλείδη και για μία νέα Φυσική Επιστήμη.»

«Τα Φράκταλς και τα προ-φράκταλς που κάποτε παρατηρήθηκαν βρίσκονται παντού. Υπάρχουν στη Φυσική στην περιγραφή της εξαιρετικά περίπλοκης συμπεριφοράς μερικών απλών φυσικών συστημάτων, όπως το ενισχυόμενο εκκρεμές και της τεραστίως παράξενης συμπεριφοράς της τυρβώδους ροής και της εναλλαγής φάσεων. Είναι τα θεμέλια αυτού που τώρα είναι γνωστό ως χαοτικά συστήματα. Επισυμβαίνουν στην Οικονομία με τη συμπεριφορά των τιμών και, όπως ο Poincare (γάλλος Μαθηματικός που θεωρείται ο πατέρας της χαοτικής δυναμικής) υποψιάστηκε αλλά ποτέ δεν απέδειξε, στη συμπεριφορά του χρηματιστηρίου. Υπάρχουν στη Φυσιολογία της ανάπτυξης των κυττάρων των θηλαστικών. Είτε το πιστεύετε είτε όχι βρίσκονται... στους κήπους. Παρατηρήστε προσεκτικά και θα βρείτε μία διαφορά μεταξύ των ανθοφόρων στελεχών του μπρόκολου και του κουνουπιδιού, μία διαφοροποίηση που μπορεί να περιγραφεί επακριβώς με τη θεωρία των Φράκταλς!»

Ο Mandelbrot έλαβε (και λαμβάνει ακόμη και σήμερα, π.χ. το Ιαπωνικό Βραβείο για την Επιστήμη και την Τεχνολογία το 2003) πάρα πολλά βραβεία, αλλά ίσως το μεγαλύτερο από όλα τα επιτεύγματά του είναι ότι απέδειξε πολύ πρακτικά και «οπτικά» κατανοητά ότι τα Μαθηματικά και η Γεωμετρία βρίσκονται πίσω και μέσα σε όλα τα φαινόμενα της Φύσης, μέσα από μία παράδοξη και οπωσδήποτε μη συμβατική και στυγνά «εργαστηριακή», χαοτική λογική εικόνων που υποκρύπτει, σαν σε βαθιά υπερβατική ενόραση, την απόλυτη υπερτάξη. Λες και μέσα στις γωνιές και στις «τερατώδεις» καμπύλες των αλλόκοτων σχημάτων που εξερεύνησε και ο ίδιος «ανακάλυψε» λάμπει για λίγες στιγμές η κρυμμένη, πλην πανταχού, θεότητα.



«Όντας μία γλώσσα, τα Μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνον για να πληροφορήσουν αλλά, μεταξύ άλλων πραγμάτων, για να σαγηνεύσουν» - Benoit Β. Mandelbrot.


Η σημερινή δημοσίευση του New York Times | Το σύνολο Mandelbrot στο Wikipedia | To σύνολο Mandelbrot στη σελίδα του Wolfram Mathworld | Η ιστοσελίδα του στο Πανεπ. Yale | Συνοπτική βιογραφία του στην ελληνική γλώσσα | Εικόνες στο google/images

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Μελέτη των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων μέσα από τη σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων με την εφαρμογή Geometer's Sketchpad για μαθητές Β Λυκείου. | Για πιο καλή ευκρίνεια στην εικόνα επιλέξτε προβολή του βίντεο σε πλήρη οθόνη και αυξήστε την ποιότητα σε 480p ή 720p (HD).

Ο Δημήτρης Νανόπουλος στο Ίδρυμα Ευγενίδου

O κ. Δημήτρης Νανόπουλος μιλά για «την Σκοτεινή Ύλη και τον Μεγάλο Επιταχυντή (LHC) του CERN», τη Δευτέρα, 18 Οκτωβρίου 2010, ώρα 19:30.

---

Τον κύριο Δημήτρη Νανόπουλο, Ακαδημαϊκό, Διακεκριμένο Καθηγητή Φυσικής του Texas A&M University και Εθνικό μας Εκπρόσωπο στο CERN, φιλοξενεί το Ίδρυμα Ευγενίδου σε μια άκρως ενδιαφέρουσα βραδιά, ανοικτή προς το ευρύ κοινό, τη Δευτέρα 18 Οκτωβρίου 2010 και ώρα 19:30. Η ομιλία του κ. Νανόπουλου με τίτλο: «Η Σκοτεινή Ύλη και ο Μεγάλος Επιταχυντής (LHC) του CERN» θα μας ξεναγήσει σε ένα από τα άκρως ενδιαφέροντα θέματα που αφορούν στο μεγαλύτερο πείραμα βασικής έρευνας που έχει πραγματοποιηθεί ποτέ. Ξεκινώντας από το Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων ή LHC (Large Hadron Collider) στο Κέντρο Πυρηνικών Ερευνών Ευρώπης ή CERN, της Ελβετίας, θα γίνει κατανοητό ότι δεν είναι μόνο οι 10.000 μαγνήτες στο 27 Km τούνελ, περίπου 100m κάτω από το έδαφος, ούτε οι περίπου 4.000 πειραματικοί Φυσικοί Υψηλών Ενεργειών που ασχολούνται με το πείραμα αυτό, αλλά κάτι ακόμη πιο σπουδαίο: το γεγονός δηλαδή ότι θα φθάσουμε για πρώτη φορά την πραγματικά μεγάλη συνολική ενέργεια των 14 TeV. Αυτό βέβαια σημαίνει ότι μας δίνεται η ευκαιρία να ανακαλύψουμε μια σειρά νέων σωματιδίων, όπως το σωμάτιο Higgs, ή τα υπερσυμμετρικά σωμάτια, συμπεριλαμβανομένου και του neutralino, που θεωρείται ο κύριος υποψήφιος για τη σύσταση της Σκοτεινής Ύλης.

 Στη συνέχεια ο κύριος Νανόπουλος θα εξηγήσει γιατί είναι τόσο σπουδαία τα παραπάνω αναφερθέντα σωματίδια για μια επιστημονική κατανόηση του Σύμπαντος μέσα από μια ενοποιημένη θεωρία όλων των δυνάμεων στη φύση. Το σωμάτιο Higgs είναι απόρροια ενός μηχανισμού που εξηγεί με ποιον τρόπο όλα τα υλικά σωμάτια αποκτούν τη μάζα τους, ενώ τα υπερσυμμετρικά σωμάτια μας εξηγούν, μεταξύ άλλων, γιατί όλες οι δυνάμεις στη φύση, σε πάρα πολύ υψηλές ενέργειες ή ισοδύναμα, μέσω της Αρχής της Αβεβαιότητας του Heisenberg, σε πάρα πολύ μικρές αποστάσεις (~10-30cm), ενώνονται και συμπεριφέρνονται σαν μια δύναμη. Επίσης, το neutralino, μπορεί άνετα να εξηγήσει την Σκοτεινή Ύλη του Σύμπαντος, δηλαδή το 23% της Συμπαντικής Υλο-Ενέργειας! Έτσι λοιπόν έχουμε μια μεγάλη συσχέτιση του μικρόκοσμου, από όπου προέρχεται το neutralino και του μακροκοσμικού Σύμπαντος, όπου κυριαρχεί η Σκοτεινή Ύλη.


Συμπερασματικά, τα πειραματικά αποτελέσματα αναμένονται με μεγάλη αγωνία γιατί θα δείξουν καθαρά ποιος είναι ο «πειραματικά στρωμένος» δρόμος που πρέπει να ακολουθήσουμε για να αποκωδικοποιήσουμε τη φύση σε τέτοια λεπτομέρεια, που πριν λίγα χρόνια φαινόταν ένα ασύλληπτο και απραγματοποίητο όνειρο. Ένα γεγονός φαίνεται σίγουρο: ότι με τη λειτουργία του LHC, οι απόψεις μας περί του Σύμπαντος θα είναι σαφέστατα πολύ πιο τεκμηριωμένες και θα οδηγηθούμε σε πολύ πιο προχωρημένες και μέχρι τώρα άβατες περιοχές της γνώσης.

Σημειώνεται ότι η ομιλία είναι ανοικτή στο ευρύ κοινό και η είσοδος στο Αμφιθέατρο του Ιδρύματος θα πραγματοποιηθεί με δελτία προτεραιότητας, τα οποία θα ξεκινήσουν να δίδονται από τη Γραμματεία, μία ώρα πριν από την έναρξη της ομιλίας (Ίδρυμα Ευγενίδου, Λεωφ. Συγγρού 387, 175 64 Π. Φάληρο).


Η προσωπική ιστοσελίδα του Δημήτρη Νανόπουλου στο Α&Μ Texas University | Δημήτρης Νανόπουλος στο Wikipedia | Η συνέντευξη του στον Θανάση Λάλα στο Βήμα της Κυριακής, 4 Ιαν. 1998

Θέματα Πανελλήνιων Μαθητικών διαγωνισμών Αστρονομίας

9ος Διαγωνισμός «ΙΠΠΑΡΧΟΣ» 2004

Θέμα  1. Είναι γνωστό ότι η αστρονομία καλλιεργήθηκε και αναπτύχθηκε πολύ από τους αρχαίους Έλληνες και μάλιστα μερικοί την ανέπτυξαν σε πολύ μεγάλο βαθμό.
Α) Να αναφέρετε μερικούς από τους αστρονόμους αυτούς.
Β) Ποιο ήταν το αστρονομικό έργο τριών εξ αυτών των αρχαίων Ελλήνων αστρονόμων.


Θέμα  2. Η αστρονομία για να μελετήσει καλύτερα την ουράνια σφαίρα καθόρισε μερικούς νοητούς κύκλους πάνω σ' αυτή.
Α) Τι γνωρίζετε για τους κύκλους της εκλειπτικής και του ουράνιου ισημερινού;
Β) Τι γνωρίζετε για τις οριζόντιες συντεταγμένες;
Γ) Τι γνωρίζετε για τις ουρανογραφικές συντεταγμένες;


Θέμα  3. Με την κατάκτηση του διαστήματος άρχισαν οι τεχνητοί δορυφόροι να χρησιμοποιούνται για το καλό της ανθρωπότητας.
Α) Να αναφέρετε μερικούς τεχνητούς δορυφόρους που εκτοξεύθηκαν για το σκοπό αυτό.
Β) Ποιες είναι οι ωφέλειες που προέκυψαν για τον άνθρωπο από τα στοιχεία που έδωσαν και δίνουν καθημερινά οι δορυφόροι αυτοί;
Γ) Η Ελλάδα συμμετέχει στην ειρηνική χρησιμοποίηση των τεχνητών δορυφόρων και με ποιο τρόπο;